Chương 2trong 5

Phân số và các phép tính với phân số

Tóm tắt kiến thức

1. Ôn tập về phân số

Mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn dưới dạng phân số.
Ví dụ:

2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2}

Muốn viết một số tự nhiên dưới dạng một phân số có mẫu số là số cho trước, ta viết mẫu số là số cho trước, còn tử số là tích của số tự nhiên đó với mẫu số.
Ví dụ: Để biểu diễn số 4 dưới dạng một phân số có mẫu số cho trước là 2, ta làm như sau:

4 = \frac{4 \times 2}{2} = \frac{8}{2}

Tổng quát

Để biểu diễn một số tự nhiên

a

cho trước dưới dạng một phân số có mẫu số là

b

, ta có:

a = \frac{a \times b}{b}

2. Rút gọn phân số

Muốn rút gọn một phân số, ta chia cả tử số và mẫu số của phân số đó cho cùng một số tự nhiên lớn hơn 1 mà cả tử số và mẫu số của phân số đó cùng chia hết cho số đó.

Ví dụ: Rút gọn phân số

\frac{15}{6}

, ta thấy 15 và 6 cùng chia hết cho 3, đem chia cả 15 và 6 cho 3 ta được một phân số rút gọn:

\frac{15}{6} = \frac{15 : 3}{6 : 3} = \frac{5}{2}

Phân số tối giản

Là phân số mà cả tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số nào khác 1.

3. Quy đồng mẫu số

Là phép toán đưa các phân số có mẫu số khác nhau về các phân số có cùng chung mẫu số.
Trước khi quy đồng mẫu số, ta nên rút gọn các phân số về dạng phân số tối giản rồi mới quy đồng để được mẫu số chung nhỏ nhất.

Ví dụ: Quy đồng mẫu số hai phân số

\frac{15}{6}

và

\frac{2}{8}

Bước 1: Rút gọn hai phân số về dạng phân số tối giản:
$\frac{15}{6} = \frac{15 : 3}{6 : 3} = \frac{5}{2}$ ; $\frac{2}{8} = \frac{2 : 2}{8 : 2} = \frac{1}{4}$
Bước 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 chia hết cho cả mẫu số của hai phân số tối giản:
Số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 chia hết cho cả 4 và 2 chính là 4, số này cũng chính là mẫu số chung của hai phân số quy đồng.
Bước 3: Quy đồng mẫu số:
Ta có: $\frac{5}{2} = \frac{5 \times 2}{2 \times 2} = \frac{10}{4}$ và $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 1}{4 \times 1} = \frac{1}{4}$

Lưu ý

Đối với quy đồng tử số các phân số, ta làm tương tự như đối với quy đồng mẫu số các phân số, nhưng ở bước 2, thay vì tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 chia hết cho mẫu số của hai hay nhiều phân số rút gọn, ta tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 chia hết cho tử số của hai hay nhiều phân số rút gọn.

4. So sánh hai phân số

Cách 1: Quy đồng mẫu số hai phân số, sau đó phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
Cách 2: Quy đồng tử số hai phân số, sau đó phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn.
Cách 3: So sánh với phân số thứ ba.

Ví dụ: So sánh hai phân số

\frac{5}{9}

và

\frac{6}{7}

.
Ta thấy:

\frac{5}{9} < \frac{5}{7}

(cùng tử số, mẫu số 9 > 7) và

\frac{5}{7} < \frac{6}{7}

(cùng mẫu số), nên

\frac{5}{9} < \frac{6}{7}

5. Bốn phép tính về phân số

a. Phép cộng

Tổng của hai hay nhiều phân số không đổi khi ta thay đổi thứ tự các phân số:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$
Đây là tính chất giao hoán của phép cộng phân số.
Tổng các phân số không đổi nếu ta thay hai hay một số các số hạng của tổng bằng tổng của chúng:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{g} = (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{g} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{g}) = (\frac{a}{b} + \frac{e}{g}) + \frac{c}{d}$
Đây là tính chất kết hợp của phép cộng phân số.
Tổng hai phân số không thay đổi nếu ta thêm vào phân số thứ nhất một số và bớt ở phân số thứ hai cùng số ấy và ngược lại:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = (\frac{a}{b} + \frac{e}{g}) + (\frac{c}{d} - \frac{e}{g}) = (\frac{a}{b} - \frac{e}{g}) + (\frac{c}{d} + \frac{e}{g})$

b. Phép trừ

Hiệu của hai phân số không thay đổi nếu ta cùng thêm một số hoặc cùng bớt một số ở cả phân số bị trừ và phân số trừ:
$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = (\frac{a}{b} + \frac{e}{g}) - (\frac{c}{d} + \frac{e}{g}) = (\frac{a}{b} - \frac{e}{g}) - (\frac{c}{d} - \frac{e}{g})$

c. Phép nhân

Tích các phân số không đổi khi ta đổi chỗ các thừa số (tính chất giao hoán):
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$

d. Phép chia
Lưu ý:

Muốn chia một số tự nhiên cho một phân số, ta có thể làm như sau:
+ Viết số tự nhiên dưới dạng phân số rồi thực hiện như chia hai phân số.
+ Nhân số tự nhiên với phân số nghịch đảo (phân số đảo ngược) của phân số chia.
Muốn chia một phân số cho một số tự nhiên, ta có thể làm như sau:
+ Viết số tự nhiên dưới dạng phân số rồi thực hiện như chia hai phân số.
+ Nhân mẫu số của phân số bị chia với số tự nhiên đó và giữ nguyên tử số.
+ Chia tử số của phân số bị chia cho số tự nhiên đó và giữ nguyên mẫu số (khi tử số chia hết cho số tự nhiên đó).

Bài tập

Bài 1Viết số thích hợp vào chỗ chấm:

1220 = 6 = 3

25 = 10 = 15 = 20

2436 = 8 = 2

34 = 12 = 16 = 20

Bài 2Rút gọn các phân số sau:

2128 = 1854 = 9070 = 936 =
3072 = 2148 = 1842 =

Bài 3Hãy chứng tỏ rằng các phân số sau bằng nhau:

\frac{7}{9} = \frac{77}{99} = \frac{777}{999}

\frac{123}{127} = \frac{123123}{127127}

\frac{13}{15} = \frac{1313}{1515} = \frac{131313}{151515}

Bài 4Viết số thích hợp vào chỗ chấm:

411 + 511 = 511 +

1537 + 2937 = 2937 +

Bài 5Một ô tô giờ thứ nhất đi được $\frac{4}{13}$ quãng đường, giờ thứ hai đi được $\frac{6}{13}$ quãng đường. Hỏi sau hai giờ ô tô đi được bao nhiêu phần quãng đường?

Sau hai giờ ô tô đi đượcquãng đường.

Bài 6Tính:

\frac{3}{4} + \frac{8}{12} =

\frac{5}{8} + \frac{14}{24} =

\frac{4}{25} + \frac{3}{5} =

Bài 7Rút gọn rồi tính:

\frac{8}{36} + \frac{4}{9} =

\frac{18}{15} + \frac{4}{30} =

\frac{2}{3} + \frac{6}{9} =

\frac{6}{12} + \frac{3}{2} =

Bài 8Tính bằng cách thuận tiện:

\frac{12}{25} + \frac{3}{5} + \frac{13}{25} =

\frac{3}{2} + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} =

Bài 9Tính:

\frac{6}{7} - \frac{5}{7} =

\frac{3}{4} - \frac{6}{24} =

\frac{3}{4} - \frac{18}{24} =

\frac{11}{6} - \frac{2}{3} =

Bài 10Tính:

2 - \frac{8}{5} =

3 - \frac{3}{8} =

\frac{16}{7} - 2 =

4 - \frac{11}{7} =

Bài 11Tìm $x$ :

x + \frac{3}{4} = \frac{4}{3}

x =

\frac{7}{12} + x = \frac{3}{2}

x =

x - \frac{3}{11} = \frac{9}{22}

x =

\frac{9}{2} - x = \frac{2}{9}

x =

Bài 12Điền dấu thích hợp (>, =, <) vào ô trống:

\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \frac{1}{34} + \dots + \frac{1}{89} + \frac{1}{90}

\frac{5}{6}

Bài 13Điền dấu thích hợp (>, =, <) vào ô trống:

\frac{1}{3} + \frac{6}{5} + \frac{17}{8} + \frac{36}{27}

Bài 14So sánh tổng sau với 1:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots + \frac{1}{1024}

Bài 15Cho phân số $\frac{2}{7}$ nhỏ hơn 1. Nếu cùng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó một số tự nhiên lớn hơn 0 thì giá trị phân số đã cho có thay đổi không? Nếu có thì giá trị phân số đó thay đổi như thế nào?

Bài 16Cho phân số $\frac{9}{4}$ lớn hơn 1. Nếu cùng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó một số tự nhiên lớn hơn 0 thì giá trị phân số đã cho có thay đổi không? Nếu có thì giá trị phân số đó thay đổi như thế nào?

Bài 17Hai người thợ chia nhau 122 000 đồng tiền công. Sau đó cả hai cùng mua quà về cho gia đình. Người thứ nhất mua quà hết $\frac{1}{4}$ số tiền của mình, người thứ hai mua quà hết $\frac{1}{3}$ số tiền công của mình. Như thế số tiền còn lại của người thứ hai hơn người thứ nhất 2 000 đồng. Hỏi mỗi người được chia bao nhiêu tiền công?

Người thứ nhất được đồng.
Người thứ hai được đồng.

Bài 18Tính nhanh các tổng sau:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} + \frac{1}{512}

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10}

Bài 19Tìm phân số $\frac{a}{b}$ lớn hơn 1, biết rằng khi lấy tử số cộng với 2 và mẫu số nhân với 2 thì được phân số mới bằng phân số $\frac{a}{b}$ .

Phân số cần tìm là

Bài 20Một người đi bán trứng. Lần thứ nhất người đó bán $\frac{2}{5}$ số trứng, lần thứ hai người đó bán $\frac{2}{3}$ số trứng còn lại thì còn lại 10 quả. Hỏi:

Mỗi lần người đó bán bao nhiêu quả trứng?
Lần thứ nhất: quả. Lần thứ hai: quả.

Số trứng ban đầu người đó đem bán là bao nhiêu quả?

quả

Bài 21Cho hai phân số $\frac{2}{7}$ và $\frac{4}{9}$ .

Hãy tìm một phân số lớn hơn phân số 27 nhưng nhỏ hơn phân số 49:
27 < < 49

Hãy tìm 5 phân số lớn hơn phân số

\frac{2}{7}

nhưng nhỏ hơn phân số

\frac{4}{9}

Viết đủ 5 giá trị khác nhau.

Chưa có giá trị nào.

Bài 22Một vòi nước buổi sáng chảy vào bể được $\frac{2}{9}$ bể. Buổi chiều vòi nước chảy thêm được $\frac{1}{3}$ số nước còn thiếu để đầy bể. Hỏi cả ngày hôm đó vòi nước chảy vào được bao nhiêu phần bể?

Cả ngày vòi nước chảy vào đượcbể.

Bài 23Một công việc, nếu người thứ nhất làm một mình thì sau 9 giờ sẽ xong. Người thứ hai làm một mình thì sau 10 giờ sẽ xong. Người thứ ba làm một mình thì sau 12 giờ sẽ xong. Hỏi nếu cả ba người cùng làm thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó?

Cả ba người cùng làm thì saugiờ sẽ xong.

Bài 24Chọn đáp án đúng: Trong các phân số $\frac{26}{39}$ , $\frac{18}{27}$ , $\frac{21}{32}$ , $\frac{33}{48}$ , phân số bé hơn $\frac{2}{3}$ là:

Bài 25Viết một phân số bằng phân số $\frac{2}{3}$ nhưng có mẫu số khác 3:

23 =

Bài 26Chọn đáp án đúng: Phân số nào dưới đây nhỏ hơn phân số $\frac{3}{7}$ ?

Bài 27Chọn đáp án đúng: Phân số lớn nhất trong các phân số $\frac{3}{4}$ , $\frac{7}{7}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{4}{3}$ là:

Bài 28Kết quả của phép cộng $\frac{2}{3} + \frac{1}{2}$ là:

Bài 29Hiệu của 5 và $\frac{1}{4}$ là:

Bài 30Kết quả của phép tính $\frac{3}{5} \times \frac{4}{6}$ là:

Bài 31Thương của $\frac{2}{3}$ và $\frac{1}{5}$ là:

Bài 32Chọn đáp án đúng: 24 kg bằng:

Bài 33Một người bán trứng lần thứ nhất bán $\frac{5}{9}$ số trứng. Lần thứ hai người đó bán $\frac{4}{5}$ số trứng còn lại thì còn lại 8 quả trứng. Tính:

Số trứng đem bán.

quả

Số trứng bán mỗi lần.
Lần thứ nhất: quả. Lần thứ hai: quả.

Bài 34Tìm $x$ biết: $x \times 3 = 100$

x =

Bài 35Điền dấu thích hợp (>, =, <) vào ô trống:

17 năm

\frac{1}{5}

thế kỉ

Bài 36Tìm các cách viết phân số $\frac{8}{21}$ thành tích của hai phân số có tử số và mẫu số là các số có một chữ số.

Viết bốn cách khác nhau (đổi chỗ hai thừa số không tính là cách mới):
821 = ×
821 = ×
821 = ×
821 = ×

Bài 37Tính nhanh: $\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{4}{10} + \frac{5}{10} + \frac{6}{10} + \frac{7}{10} + \frac{8}{10} + \frac{9}{10}$

Bài 38Mẹ 49 tuổi, tuổi con bằng $\frac{2}{7}$ tuổi mẹ. Hỏi con bao nhiêu tuổi?

Contuổi.

Bài 39Hiện nay mẹ 36 tuổi, tuổi con bằng $\frac{1}{6}$ tuổi mẹ. Hỏi bao nhiêu năm nữa tuổi con bằng $\frac{1}{3}$ tuổi mẹ?

Saunăm nữa.

Bài 40Bác An có một thửa ruộng. Trên thửa ruộng ấy bác dành $\frac{1}{4}$ diện tích để trồng rau, $\frac{1}{3}$ để đào ao, phần còn lại dành làm đường đi. Biết diện tích làm đường đi là 30 m², tính diện tích thửa ruộng.

Diện tích thửa ruộng làm².

Bài 41Trong đợt kiểm tra học kì vừa qua ở khối 4, thầy giáo nhận thấy: $\frac{1}{5}$ số học sinh đạt điểm giỏi, $\frac{2}{3}$ số học sinh đạt điểm khá, $\frac{1}{10}$ số học sinh đạt điểm trung bình, còn lại là số học sinh đạt điểm yếu. Biết số học sinh đạt điểm giỏi là 45 em.

Khối 4 có bao nhiêu học sinh?

học sinh

Có bao nhiêu học sinh đạt điểm khá?

học sinh

Bài 42Một cửa hàng nhập về một số xe đạp. Người bán hàng để $\frac{1}{6}$ số xe đạp bày ở quầy, số còn lại cất vào kho. Sau khi bán 5 xe đạp ở quầy, người bán hàng thấy số xe đạp cất trong kho gấp 10 lần số xe đạp còn lại ở quầy. Tính số xe đạp cửa hàng đã nhập.

Cửa hàng đã nhậpxe đạp.